/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Najmniejsza suma

Zadanie nr 2973071

Wyznacz współrzędne punktu P leżącego na prostej o równaniu y = 2x − 3 , którego suma kwadratów odległości od punktów A = (1,1) i B = (5 ,0) jest najmniejsza.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Skoro punkt P leży na prostej o równaniu y = 2x− 3 to ma współrzędne postaci P = (x,2x − 3) . Mamy zatem

AP 2 = (x − 1)2 + (2x − 3 − 1)2 = (x − 1)2 + (2x − 4 )2 = 5x2 − 18x + 17 2 2 2 2 BP = (x− 5) + (2x− 3) = 5x − 22x + 34.

Stąd

( ) 2 2 2 2 5-1 AP + BP = 1 0x − 40x + 51 = 10 x − 4x + 1 0 .

Wykresem otrzymanej funkcji kwadratowej jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc najmniejszą wartość otrzymamy w wierzchołku, czyli dla

−b 4 x = xw = ----= --= 2. 2a 2

Wtedy P = (x,2x − 3) = (2,1) .  
Odpowiedź: P = (2,1)

Wersja PDF