/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Najmniejsza suma

Zadanie nr 4701660

Dany jest trójkąt ABC , w którym A = (− 2,2) i B = (2,1) . Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = 2x + 4 . Wyznacz współrzędne wierzchołka C , dla którego suma kwadratów długości boków trójkąta jest najmniejsza.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Zauważmy, że wartość AB 2 nie zależy od wyboru punktu C , więc wystarczy wybrać punkt C tak, aby suma AC 2 + BC 2 była najmniejsza. Oznaczmy C = (x ,2x+ 4) . Wtedy

AC 2 + BC 2 = (x + 2)2 + (2x + 2 )2 + (x − 2)2 + (2x + 3)2 = 2 2 2 2 = x + 4x + 4 + 4x + 8x+ 4+ x − 4x + 4 + 4x + 12x + 9 = = 10x 2 + 20x + 21.

Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc najmniejszą wartość otrzymamy w wierzchołku, czyli dla x = −b-= − 1 2a . Wtedy y = 2x + 4 = 2 i C = (− 1,2 ) .  
Odpowiedź: C = (− 1,2)

Wersja PDF