Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6469111

Na prostej l : x + y − 6 = 0 wyznacz taki punkt C , aby długość łamanej ACB , gdzie A (1,3) , B (2,2) , była najmniejsza. Uzasadnij swoje rozumowanie.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od szkicowego rysunku.


PIC


Rysunek sugeruje nam, że punkty A i B są w tej samej odległości od prostej l . Sprawdźmy, że tak jest w istocie. Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x ,y ) 0 0 od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0-+-By-0 +-C|- √ --2----2- . A + B

W naszej sytuacji

 |1+ 3− 6 | 2 A : ----√------= √--- 2 2 |2+--2−-6-| -2-- B : √ 2- = √ 2.

Teraz skorzystamy z faktu, że jeżeli mamy dwa punkty A i B po jednej stronie prostej, to punkt C na tej prostej, dla którego łamana ACB jest najkrótsza to punkt, dla którego kąty jakie tworzą odcinki AC i BC z daną prostą są równe (rysunek).


PIC


Uzasadnienie tego jest proste, jeżeli B′ jest obrazem punktu B w symetrii względem danej prostej, to

AC + CB = AC + CB ′

i ta ostatnia liczba jest najmniejsza, gdy punkty A ,C i B ′ leżą na jednej prostej, co sprowadza się do warunku α = β .

W sytuacji naszego zadania, sprawa jest wyjątkowo prosta, bo punkty leżą w jednakowej odległości od prostej l . W takiej sytuacji, warunek z kątami oznacza, że punkt C leży na symetralnej odcinka AB . Wyliczmy jej równanie. Będziemy korzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora → v = [p,q] i przechodzącej przez punkt (x0,y0)

p(x − x 0)+ q(y − y 0) = 0

W naszej sytuacji → → v = AB = [1,− 1] i  ( 1+2 3+ 2) (3 5) P = -2-, -2-- = 2,2 . Mamy zatem równanie symetralnej

( ) ( ) 3- 5- x − 2 − y − 2 = 0 y = x + 1.

Pozostało znaleźć punkt przecięcia się tej prostej z prostą l

{ y = x + 1 x + y − 6 = 0 { y = x + 1 x + (x + 1) − 6 = 0

Łatwo stąd wyliczyć, że  (5 7) C = 2,2 .  
Odpowiedź:  ( ) C = 52, 72

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!