/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Najmniejsza suma

Zadanie nr 8077442

Dane są punkty A = (2,3) i B = (5,4) . Na prostej o równaniu y = 5 wyznacz punkt C tak, aby łamana ACB miała jak najmniejszą długość. Odpowiedź uzasadnij.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Skorzystamy z faktu, że jeżeli mamy dwa punkty A i B po jednej stronie prostej, to punkt C na tej prostej, dla którego łamana ACB jest najkrótsza to punkt, dla którego kąty jakie tworzą odcinki AC i BC z daną prostą są równe (rysunek).

PIC

Uzasadnienie tego jest proste, jeżeli B′ jest obrazem punktu B w symetrii względem danej prostej, to

AC + CB = AC + CB ′

i ta ostatnia liczba jest najmniejsza, gdy punkty A ,C i B ′ leżą na jednej prostej, co sprowadza się do warunku α = β .

PIC

W sytuacji naszego zadania, sprawa jest wyjątkowo prosta, bo prosta jest pozioma, więc łatwo jest znaleźć obraz punktu B przy symetrii względem tej prostej: B ′ = (5 ,6) . Napiszemy teraz równanie prostej AB ′ i znajdziemy jej punkt C wspólny z prostą y = 5 .

Korzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A = (xA ,yA ) i B = (xB ,yB) :

(y− yA)(xB − xA) − (yB − yA )(x − xA ) = 0

W naszej sytuacji

(y − 3)(5 − 2) − (6 − 3)(x − 2) = 0 (y − 3) − (x − 2) = 0 y − x − 1 = 0.

Zatem dla y = 5 mamy x = 4 .  
Odpowiedź: C = (4,5)

Wersja PDF