Zadanie nr 5777791

Graniastosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną, przechodzącą przez środek ciężkości górnej podstawy i krawędź dolnej podstawy, pod kątem 45 ∘ do dolnej podstawy. Pole otrzymanego przekroju wynosi √ -- 5 6 . Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Przekrój, o którym mowa w zadaniu jest trapezem równoramiennym. Widać, że z podanego kąta nachylenia tego przekroju możemy uzależnić wysokość graniastosłupa w zależności od długości jego krawędzi podstawy .

-- -- P Q 1 a√ 3 a√ 3 ---- = tg 45∘ = 1 ⇒ H = PQ = P E = --⋅ -----= ----. PE 3 2 6

Skorzystaliśmy ze wzoru na długość wysokości w trójkącie równobocznym oraz faktu, że środek trójkąta równobocznego dzieli jego wysokości w stosunku 2:1.

Trójkąt EP Q jest połówką kwadratu, więc