Zadanie nr 6403788

Graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy równej i wysokości dwa razy dłuższej od krawędzi podstawy, przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do podstawy pod kątem miary α ∈ (0, π-⟩ 2 . Oblicz pole otrzymanego przekroju. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Z obrazka widać, że w zależności od miary kąta , otrzymany przekrój może być trójkątem równoramiennym, trapezem lub prostokątem.

Od razu załatwmy przypadek prostokąta (czyli przypadek α = π- 2 ). Pole tego prostokąta jest równe

√ -- √ -- 2 P = AC ⋅AE = a 2 ⋅2a = 2 2a .

Łatwo też jest w przypadku trójkąta równoramiennego. Jego podstaw ma długość √ -- AC = a 2 , a wysokość możemy obliczyć z trójkąta prostokątnego DSB .

√ -- SB SB a 2 DS--= cosα ⇒ DS = co-sα = 2co-sα-.

Pole trójkąta jest więc równe

√ -- 1 1 √ -- a 2 a2 P = -AC ⋅DS = --⋅a 2⋅ -------= -------. 2 2 2co sα 2co sα

Zauważmy jeszcze, że ten przypadek będzie zachodził, o ile

BD-- 2a-- -4-- √ -- tg α = SB ≤ a√2-= √ --= 2 2. 2 2

No i został najciekawszy przypadek, gdy przekrój jest trapezem równoramiennym. Dolna podstawa tego trapezu to √ -- AC = a 2 . Aby obliczyć jego wysokość oznaczmy przez rzut punktu na podstawę graniastosłupa. W trójkącie SHD mamy