/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup

Zadanie nr 9582291

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym wszystkie krawędzie mają jednakową długość. Wyznacz tangensy kątów nachylenia przekątnych graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku i oznaczmy długość krawędzi graniastosłupa przez a .

ZINFO-FIGURE

Widać, że w graniastosłupie są dwa rodzaje przekątnych takie jak CB i takie jak CD . Ponieważ łącząc wierzchołki sześciokąta foremnego z jego środkiem otrzymujemy 6 trójkątów równobocznych, mamy

AC a 1 AB = 2a ⇒ tgα = ----= ---= -- AB 2a 2

Aby wyliczyć tangens β zauważmy, że odcinek AD jest dwa razy dłuższy od wysokości trójkąta równobocznego o boku a , ma więc długość

√ -- AD = a 3.

Zatem

√ -- AC-- --a-- --3- tg β = AD = a√ 3-= 3 .

 
Odpowiedź: 1 2 i √3- 3

Wersja PDF