Zadanie nr 9760663

Kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu o podstawie kwadratowej jest równy 60 ∘ . Krawędź podstawy ma długość 12. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu i kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy prostopadłościanu.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

Ponieważ podstawą jest kwadrat, więc ścianami bocznymi są identyczne prostokąty. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przekątnej

∘ ---------- √ -- c = 122 + 122 = 1 2 2.

Przekątne dwóch sąsiadujących ścian są sobie równe, więc trójkąt ABC jest równoramienny. Zatem stosując funkcje trygonometryczne możemy obliczyć długość

1 sin 30∘ = -2c d ----c---- √ -- d = 2 sin30 ∘ = 12 2 .

Mogliśmy też długość odcinka obliczyć szybciej: wystarczyło zauważyć, że trójkąt ACB jest równoramienny z kątem między ramionami równym 60 ∘ . Jest to więc trójkąt równoboczny i