Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8972309

Wykres funkcji kwadratowej  2 2 f(x) = (1 − m )x − mx + m przecina oś Ox w punktach A i B , które leżą po dwóch różnych stronach osi Oy . Wyznacz tę wartość parametru m , dla której iloczyn odległości punktów A i B od początku układu współrzędnych jest najmniejszy możliwy. Dla wyznaczonej wartości m oblicz sumę odległości punktów A i B od początku układu współrzędnych.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Naszkicujmy opisaną sytuację.


PIC


Sprawdźmy najpierw, kiedy funkcja f ma dwa miejsca zerowe. Oczywiście musi być m ⁄= 1 oraz

0 < Δ = m 2 − 4m 2(1− m) = m2(1 − (4 − 4m )) = m 2(4m − 3) 3 (m ⁄= 0 ∧ 3 < 4m ) ⇐ ⇒ --< m. 4

Równanie ma więc dwa różne rozwiązania dla

 ( ) m ∈ 3-,1 ∪ (1,+ ∞ ). 4

Przy tym założeniu możemy zapisać wzory Viète’a.

{ x 1 + x 2 = 1m−m -m2- x 1x2 = 1−m

Zauważmy teraz, że informacja o tym, że miejsca zerowe funkcji f znajdują się po dwóch różnych stronach osi Oy oznacza, że x1x2 < 0 , czyli

 m 2 ------ < 0 ⇐ ⇒ (m ⁄= 0 ∧ 1 − m < 0 ) ⇐ ⇒ 1 < m. 1 − m

Pozostaje wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

 -m-2-- g(m ) = |x1|⋅|x2| = −x 1x2 = m − 1 ,

określonej dla m > 1 .


PIC


Liczymy pochodną

 ( 2 )′ 2 ′ -m---- 2m-(m--−-1)-−-m--⋅1- g (m) = m − 1 = (m − 1)2 = 2 = m--−-2m--= m-(m-−--2). (m − 1 )2 (m − 1)2

Widać teraz, że pochodna jest ujemna na przedziale (1,2) i dodatnia na przedziale (2 ,+∞ ) . To oznacza, że funkcja g maleje na przedziale (1,2⟩ i rośnie na przedziale ⟨2 ,+∞ ) . To z kolei oznacza, że w m = 2 funkcja g ma minimum lokalne, które jednocześnie jest najmniejszą wartością funkcji.

Pozostało teraz obliczyć sumę odległości punktów A i B od początku układu współrzędnych. W tym miejscu łatwo popełnić błąd – bo nie jest to suma x 1 + x 2 , tylko |x 1|+ |x2| . Obliczymy tę sumę na dwa sposoby.

Sposób I

Na mocy wzorów Viète’a mamy

{ x + x = -m--= − 2 1 2 21−m x 1x 2 = 1m−m- = − 4

Wiemy, że pierwiastki są różnych znaków, więc możemy założyć, że x < 0 < x 1 2 . Mamy wtedy

|x1|+ |x2| = −x 1 + x2

i

(x 2 − x 1)2 = (x1 + x2)2 − 4x1x2 = 4 + 16 = 20.

Stąd

 √ --- √ -- |x |+ |x | = 2 0 = 2 5. 1 2

Sposób II

Wyznaczmy pierwiastki funkcji f dla m = 2 .

 2 0 = −x − 2x + 4 / ⋅(− 1) 0 = x2 + 2x − 4 Δ = 4+ 16 = 20 √ -- √ -- √ -- √ -- x 1 = −-2-−-2--5-= − 1− 5, x2 = −-2+--2--5-= − 1 + 5 2 2

Mamy stąd

 √ -- √ -- √ -- |x |+ |x | = 1 + 5 + (− 1+ 5) = 2 5 . 1 2

 
Odpowiedź: m = 2 ,  √ -- |x 1|+ |x2| = 2 5

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!