Rozważamy prostokąty, których dwa wierzchołki leżą na odcinku... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Największa suma, 6487887

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Zadania na ekstremum/Największa suma

Zadanie nr 6487887

Rozważamy prostokąty, których dwa wierzchołki leżą na odcinku łączącym punkty wspólne osi $Ox$ i paraboli o równaniu $y = x2 − 6x + 5$ , a dwa należą do tej paraboli. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego prostokąta, który ma największy obwód.

Rozwiązanie

Zacznijmy od szkicowego rysunku.

Jeżeli oznaczymy współrzędne punktu $A = (x ,0)$ , to punkt $B$ musi być symetryczny względem pionowej prostej przechodzącej przez wierzchołek paraboli. Ponieważ

−b-- xw = 2a = 3,

Więc jeżeli $B = (x′,0)$ , to $x+x′ = 3 2$ , czyli $B = (6− x,0)$ . Łatwo wtedy wyliczyć współrzędne pozostałych wierzchołków

D = (x,x2 − 6x + 5) 2 C = (6− x,(6− x) − 6(6− x)+ 5).

Obwód prostokąta wyraża się wzorem

f(x) = 2AB + 2AD = 2((6− 2x) − (x2 − 6x + 5)) = 2(−x 2 + 4x + 1).

Musimy znaleźć największą wartość funkcji $f$ na przedziale $(1 ,3 )$ . Ponieważ wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół, więc największa wartość jest przyjmowana w wierzchołku, czyli dla $x = 42 = 2$ . Wtedy