/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2016
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 23 kwietnia 2016 Czas pracy: 180 minut
Zadania zamknięte
Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność .
Stąd wynika, że
A) B)
C)
D)
Liczba rzeczywistych pierwiastków równania jest równa
A) 4 B) 2 C) 1 D) 0
Wielomian zapisano w postaci
. Suma
jest równa
A) B)
C)
D)
Dla dowolnego kąta wartość wyrażenia
jest równa wartości wyrażenia
A) B)
C)
D) 0
Punkt jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt
. Prosta zawierająca bok
tego trójkąta ma równanie
. Prosta zawierająca bok
może mieć równanie
A) B)
C)
D)
Zadania otwarte
Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą nierówność .
Oblicz .
Oblicz granicę funkcji .
Średnia arytmetyczna początkowych wyrazów ciągu
jest równa
. Wyznacz wzór ogólny ciągu
.
Okrąg przechodzi przez wierzchołek
trójkąta
i przecina jego boki
i
odpowiednio w punktach
i
. Okrąg
przechodzi przez wierzchołek
, przecina okrąg
w punkcie
oraz w punkcie
leżącym wewnątrz trójkąta
. Ponadto okrąg
przecina bok
trójkąta w punkcie
.
Udowodnij, że punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie
.
W fabryce obuwia pracuje pięć linii produkcyjnych produkujących ten sam model butów. W poniższej tabeli zawarto informacje o wydajności tych linii oraz o odsetku wadliwych par obuwia produkowanych przez każdą z nich.
Linia produkcyjna | Wydajność | Odsetek wadliwych par |
I | 60 par/godzinę | 2% |
II | 50 par/godzinę | 3% |
III | 40 par/godzinę | 1% |
IV | 80 par/godzinę | 3% |
V | 70 par/godzinę | 2% |
Wybieramy losowo jedną parę obuwia wyprodukowaną przez te linie produkcyjne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana para nie okaże się wadliwa?
Wykaż, że istnieje liczba dodatnia , dla której
.
Dany jest okrąg o promieniu
. Wewnątrz tego okręgu narysowano okrąg
styczny wewnętrznie o średnicy
, wewnątrz okręgu
znów narysowano okrąg styczny wewnętrznie o średnicy
itd. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Wykaż, że suma długości okręgów
jest mniejsza od długości okręgu
.
W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości
i
wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego punkty wspólne okręgu wpisanego z bokami
i
.
Do windy na parterze budynku wsiadło 6 osób, po czym każda z nich w sposób losowy wysiadła na jednym z trzech pięter budynku. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na jednym z pięter wysiadły dokładnie 4 osoby?
Oblicz pole trójkąta ograniczonego osią oraz stycznymi do wykresu funkcji
poprowadzonymi w punktach
i
.
Funkcja jest określona wzorem
dla każdej liczby rzeczywistej
. Wyznacz całkowite wartości parametru
, dla których funkcja
przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.
Romb o boku długości obraca się dokoła jednej z przekątnych. Wyznacz pole tego spośród takich rombów, dla którego objętość otrzymanej bryły jest największa.