/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2016
Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 9 maja 2016 Czas pracy: 180 minut
Zadania zamknięte
W rozwinięciu wyrażenia współczynnik przy iloczynie
jest równy
A) B) 48 C)
D) 144
Wielomian jest podzielny przez dwumian
dla
równego
A) 4 B) C) 2 D)
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji homograficznej , której dziedziną jest zbiór
.
Równanie z niewiadomą
ma dokładnie jedno rozwiązanie
A) w dwóch przypadkach: lub
.
B) w dwóch przypadkach: lub
.
C) tylko wtedy, gdy .
D) tylko wtedy, gdy .
Funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej
. Pochodna tej funkcji jest określona wzorem
A) B)
C)
D)
Granica . Wynika stąd, że
A) B)
C)
D)
Zadania otwarte
Wśród 10 tysięcy mieszkańców pewnego miasta przeprowadzono sondaż dotyczący budowy przedszkola publicznego. Wyniki sondażu przedstawiono w tabeli.
Badane grupy | Liczba osób popierających budowę przedszkola | Liczba osób niepopierających budowy przedszkola |
Kobiety | 5140 | 1860 |
Mężczyźni | 2260 | 740 |
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrana osoba, spośród ankietowanych, popiera budowę przedszkola, jeśli wiadomo, że jest mężczyzną.
Dany jest ciąg geometryczny określony wzorem
dla
. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą
, dla której nieskończony szereg
jest zbieżny.
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych i
takich, że
, prawdziwa jest nierówność
.
Dany jest prostokąt . Okrąg wpisany w trójkąt
jest styczny do przekątnej
w punkcie
. Okrąg wpisany w trójkąt
jest styczny do boku
w punkcie
, a środek
tego okręgu leży na odcinku
, jak na rysunku.
Wykaż, że .
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których wykresy funkcji
i
, określonych wzorami
oraz
, przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.
Rozwiąż nierówność w przedziale
.
Dany jest trójmian kwadratowy . Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru
, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki
tego samego znaku, spełniające warunek
.
Punkty i
są sąsiednimi wierzchołkami czworokąta
wpisanego w okrąg. Prosta o równaniu
jest jedyną osią symetrii tego czworokąta i zawiera przekątną
. Oblicz współrzędne wierzchołków
i
tego czworokąta.
Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziesięciocyfrowe, w zapisie których mogą występować wyłącznie cyfry 1, 2, 3, przy czym cyfra 1 występuje dokładnie trzy razy. Uzasadnij, że takich liczb jest 15 360.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o podstawie
wysokość jest równa 5, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę
. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Parabola o równaniu przecina oś
układu współrzędnych w punktach
i
. Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne
, których dłuższą podstawą jest odcinek
, a końce
i
krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Wyznacz pole trapezu w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka
. Oblicz współrzędne wierzchołka
tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.