/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2016/Matura próbna

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 23 kwietnia 2016 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność |3x+ 6| ≤ 9 .

PIC

Stąd wynika, że
A) k = − 1 0 B) k = − 5 C) k = − 6 D) k = − 4

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba rzeczywistych pierwiastków równania (9x2 − 12x + 4)3 = (1− 3x + 3x2 − x3)2 jest równa
A) 4 B) 2 C) 1 D) 0

Zadanie 3
(1 pkt)

Wielomian 5 5 W (x ) = (x − 2) − (x+ 2) zapisano w postaci 5 4 3 2 W (x ) = a5x + a4x + a3x + a2x + a1x + a0 . Suma a5 + a4 + a3 + a2 + a1 jest równa
A) − 244 B) − 180 C) − 242 D) − 212

Zadanie 4
(1 pkt)

Dla dowolnego kąta α wartość wyrażenia ∘ cosα + co s(180 − α) jest równa wartości wyrażenia
A) co s2α B) − co sα C) 2 cosα D) 0

Zadanie 5
(1 pkt)

Punkt S = (3,− 2) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Prosta zawierająca bok AB tego trójkąta ma równanie 2x + 3y + 4 = 0 . Prosta zawierająca bok BC może mieć równanie
A) 3x − 2y − 9 = 0 B) 3x − 2y − 8 = 0 C) 3x + 2y − 2 = 0 D) 2y − 3x + 10 = 0

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą nierówność |x| > |x − 2017| .

Zadanie 7
(2 pkt)

Oblicz 2log35 − 5log32 .

Zadanie 8
(2 pkt)

Oblicz granicę funkcji (9−2x3)(8+3x2) xli→m− ∞ x(1− 3x2+ 2x)2 .

Zadanie 9
(2 pkt)

Średnia arytmetyczna n początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa 3 7 2 − 2n . Wyznacz wzór ogólny ciągu (an) .

Zadanie 10
(3 pkt)

Okrąg o1 przechodzi przez wierzchołek B trójkąta ABC i przecina jego boki AB i BC odpowiednio w punktach F i D . Okrąg o2 przechodzi przez wierzchołek C , przecina okrąg o1 w punkcie D oraz w punkcie G leżącym wewnątrz trójkąta ABC . Ponadto okrąg o 2 przecina bok AC trójkąta w punkcie E .

PIC

Udowodnij, że punkt G leży na okręgu opisanym na trójkącie AF E .

Zadanie 11
(3 pkt)

W fabryce obuwia pracuje pięć linii produkcyjnych produkujących ten sam model butów. W poniższej tabeli zawarto informacje o wydajności tych linii oraz o odsetku wadliwych par obuwia produkowanych przez każdą z nich.

Linia produkcyjna Wydajność Odsetek wadliwych par
I 60 par/godzinę 2%
II 50 par/godzinę 3%
III 40 par/godzinę 1%
IV 80 par/godzinę 3%
V 70 par/godzinę 2%

Wybieramy losowo jedną parę obuwia wyprodukowaną przez te linie produkcyjne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana para nie okaże się wadliwa?

Zadanie 12
(3 pkt)

Wykaż, że istnieje liczba dodatnia a , dla której 3√- a2 + 1 < 31-2- a 20 .

Zadanie 13
(3 pkt)

Dany jest okrąg o1 o promieniu r . Wewnątrz tego okręgu narysowano okrąg o2 styczny wewnętrznie o średnicy r , wewnątrz okręgu o2 znów narysowano okrąg styczny wewnętrznie o średnicy 1 2 r itd. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Wykaż, że suma długości okręgów o2017,o2018,...,o20160 jest mniejsza od długości okręgu o2016 .

PIC

Zadanie 14
(4 pkt)

W trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych długości |BC | = 5 i |AC | = 12 wpisano okrąg. Oblicz długość odcinka łączącego punkty wspólne okręgu wpisanego z bokami AB i AC .

Zadanie 15
(4 pkt)

Do windy na parterze budynku wsiadło 6 osób, po czym każda z nich w sposób losowy wysiadła na jednym z trzech pięter budynku. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na jednym z pięter wysiadły dokładnie 4 osoby?

Zadanie 16
(4 pkt)

Oblicz pole trójkąta ograniczonego osią Ox oraz stycznymi do wykresu funkcji f (x) = x3 + 3x2 − 5x − 9 poprowadzonymi w punktach x = − 3 i x = − 2 .

Zadanie 17
(6 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem k2+9k+14 2 f(x ) = k− 1 x + (k + 2)x + k − 1 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz całkowite wartości parametru k , dla których funkcja f przyjmuje wartość największą i ma dwa różne miejsca zerowe o jednakowych znakach.

Zadanie 18
(7 pkt)

Romb o boku długości a obraca się dokoła jednej z przekątnych. Wyznacz pole tego spośród takich rombów, dla którego objętość otrzymanej bryły jest największa.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania