/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 1077345

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W kwadrat o boku a wpisujemy okrąg. W ten okrąg wpisujemy kwadrat, w który wpisujemy okrąg itd. W ten sposób powstanie nieskończony ciąg kwadratów. Oblicz sumę obwodów wszystkich tych kwadratów.

Rozwiązanie

Zobaczmy jak zmienia się bok kwadratu, przy pojedynczym przejściu.

PIC

Okrąg wpisany w kwadrat ma średnicę a i to jest dokładnie przekątna kolejnego kwadratu. Zatem

-- a √ 2 = a ⇒ a = √1--a , n+ 1 n n+1 2 n

gdzie przez an i an+ 1 oznaczyliśmy boki kolejnych kwadratów. Zatem obwody tych kwadratów spełniają

-1-- Sn+1 = √ -Sn . 2

Musimy więc wysumować szereg geometryczny o pierwszym wyrazie S 1 = 4a i ilorazie 1-- q = √2 .

√ -- S = --S1--= --4a--- = √4a---= √4--2a--= 1 − q 1 − √1- -2√−-1 2 − 1 √ --√ -- 2 2 4a 2( 2+ 1) √ -- = -√---------√-------= (8 + 4 2)a. ( 2 − 1 )( 2+ 1 )

 
Odpowiedź: √ -- (8 + 4 2)a

Wersja PDF