/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 1265149

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Trzy liczby, których suma jest równa 105, tworzą ciąg geometryczny. Jeśli pierwszą liczbę zmniejszymy o 45, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Wyznacz te liczby.

Rozwiązanie

Sposób I

Skoro liczby tworzą ciąg geometryczny to są postaci 2 a,aq,aq . Z podanej sumy mamy

2 a + aq + aq = 1 05 a(1 + q + q2) = 10 5 a = ---105----. 1+ q+ q2

Z informacji o ciągu arytmetycznym wiemy, że liczby

(a − 45,aq ,aq2)

są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Mamy zatem

2aq = (a − 45) + aq2 2 45 = a + aq − 2aq 45 = a(1 − 2q + q2).

Podstawiamy teraz --105-- a = 1+q +q2 .

105 (1 + q + q2) 45 = ---------- (1− 2q + q2) / ⋅------------ 1 + q + q2 5 9+ 9q+ 9q2 = 21 − 42q + 2 1q2 12q2 − 51q + 12 = 0 / : 3 2 4q − 17q + 4 = 0 Δ = 1 72 − 4⋅16 = 289 − 64 = 2 25 = 152 q = 17-−-15-= 1- ∨ q = 17-+-15-= 4. 8 4 8

Stąd odpowiednio

105 105 1 05 a = ---------- = -----------= ---- = 80 1 + q+ q2 1+ 14 + 116 2116

lub

a = ---105---- = ----105----= 5. 1+ q+ q2 1 + 4 + 16

Są zatem dwa ciągi spełniające warunki zadania:

(80,2 0,5) lub (5,20,80).

Sposób II

Liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli 2 b = ac . Wiemy ponadto, że

a + b + c = 10 5

oraz liczby (a − 45 ,b,c) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, czyli

2b = (a− 45)+ c 2b + 45 = a+ c.

Podstawiając a+ c = 2b+ 45 w równości a + b + c = 10 5 mamy

2b + 4 5+ b = 105 ⇒ 3b = 60 ⇒ b = 20.

Zatem

a + c = 2b + 4 5 = 85.

Podstawiamy teraz c = 85 − a do równości ac = b 2 = 400 .

a(85 − a) = 40 0 0 = a2 − 85a + 400 2 2 Δ = 85 − 4⋅4 00 = 7225 − 1 600 = 562 5 = 75 85-−-7-5 85-+-75- a = 2 = 5 ∨ a = 2 = 80.

Stąd c = 85 − 5 = 8 0 lub c = 85− 80 = 5 odpowiednio i są dwa ciągi spełniające warunki zadania:

(5,20 ,8 0) lub (80,20,5).

 
Odpowiedź: (80,2 0,5) lub (5 ,2 0,80)

Wersja PDF