/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 1533554

Jedno z rozwiązań równania 2 acx + (a− bc )x− b = 0 z niewiadomą x jest równe 4. Liczby a,b i c (w podanej kolejności) tworzą ciąg arytmetyczny, w którym pierwszy wyraz jest o 6 większy od trzeciego. Znajdź drugie rozwiązanie tego równania.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Ponieważ x = 4 jest pierwiastkiem, mamy

0 = 16ac + 4(a − bc)− b.

Ponadto

2b = a+ c ⇒ c = 2b− a a = c + 6 = 2b − a+ 6 ⇒ 2a = 2b + 6 ⇒ a = b+ 3 c = 2b − a = 2b− (b+ 3) = b− 3.

Podstawiamy teraz wyliczone a = b + 3 i c = b − 3 do pierwszego z otrzymanych równań.

0 = 16(b + 3)(b − 3) + 4((b + 3) − b(b − 3)) − b 2 2 0 = 16(b − 9) + 4(−b + 4b + 3) − b 0 = 12b2 + 15b − 1 32 0 = 4b2 + 5b − 44 2 Δ = 25+ 704 = 72 9 = 27 −-5-−-27- −-5-+-27- 11- b1 = 8 = − 4, b2 = 8 = 4 .

Mamy wtedy odpowiednio

a = b + 3 = −1 c = b − 3 = − 7 1 1 1 1 a = b + 3 = 23- c = b − 3 = − 1. 2 2 4 2 2 4

Drugi pierwiastek obliczamy ze wzoru Viète’a

x x = −b-1 = 4- 1 2 a1c1 7 − 11 x 1x2 = −b-2 = ----4---= 4-4. a2c2 − 243⋅ 14 2 3

Zatem drugi pierwiastek jest równy odpowiednio

47 1 4243 11 x = 4-= 7- ∨ x = 4--= 23.

 
Odpowiedź: 1 x = 7 lub 11 x = 23

Wersja PDF