/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 1747421

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Liczby x1 i x2 są różnymi miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f (x) = x2 − (a+ 1)x + a2 . Dla jakich a ∈ R ciąg √ -- (x 1 + x 2; 2 ;x1x2) jest geometryczny?

Rozwiązanie

Nie będziemy na razie przejmować się Δ -ą – na koniec sprawdzimy ją dla otrzymanych rozwiązań. Na mocy wzorów Viète’a, mamy

{ x1 + x2 = a+ 1 x x = a2. 1 2

Pytamy zatem kiedy ciąg √ -- 2 (a+ 1, 2,a ) jest geometryczny. Tak będzie, gdy kwadrat środkowego wyrazu będzie iloczynem sąsiednich wyrazów czyli

2 = (a + 1)a 2 3 2 a + a − 2 = 0.

Widać, że a = 1 jest pierwiastkiem, dzielimy (grupując wyrazy) przez a − 1 .

a3 + a2 − 2 = a3 − a2 + 2a2 − 2a+ 2a− 2 = (a − 1)(a2 + 2a + 2)

Trójmian w nawiasie nie ma pierwiastków (Δ < 0 ), więc musi być a = 1 .

Wyjściowy trójmian ma jednak wtedy postać x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 , czyli nie ma dwóch różnych pierwiastków.  
Odpowiedź: Nie ma takiego a .

Wersja PDF