/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 1840757

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (an) wyraża się wzorem Sn = 24n − 2n 2 , gdzie n ∈ N + . Oblicz x wiedząc, że liczby: 2, a5, a 3 + x w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.

Rozwiązanie

Z podanego wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu (an) obliczamy a 3 i a5 .

a3 = a1 + a2 + a3 − (a1 + a2) = S3 − S2 = (72 − 18 )− (4 8− 8 ) = 14 a5 = S5 − S4 = (120− 50) − (96 − 32) = 6

Wykorzystujemy teraz informację o tym, że ciąg (2 ,a5,a3 + x ) jest geometryczny. W takiej sytuacji kwadrat wyrazu środkowego musi być iloczynem wyrazów sąsiednich.

a25 = 2 ⋅(a3 + x) 36 = 2 (1 4+ x) 36 = 2 8+ 2x ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4.

 
Odpowiedź: x = 4

Wersja PDF