/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 1942915

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkąt równoboczny ABC o boku długości 1 wpisano koło. Prowadzimy proste równoległe do boków trójkąta ABC i styczne do koła wpisanego. Proste te odcinają od trójkąta ABC trzy trójkąty równoboczne. W każdy z nich wpisujemy koło i postępujemy analogicznie jak z kołem wpisanym w trójkąt ABC . Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę pól wszystkich otrzymanych w ten sposób kół.

PIC

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że pierwsze z kół ma promień

√ -- √ -- r = 1-⋅ a-3-= --3- 3 2 6

i pole

2 π P 1 = πr = --. 12

Spróbujmy teraz zrozumieć jak promień kolejnego koła powstaje z promienia r poprzedniego koła.

PIC

Zauważmy, że ponieważ średnica okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny stanowi 23 wysokości trójkąta ABC , trójkąt DEC jest trzy razy mniejszy od trójkąta ABC . W takim razie pole koła wpisanego w ten trójkąt jest dziewięć razy mniejsze od pola koła wpisanego w trójkąt ABC . Są jednak trzy koła tej wielkości, więc suma pól P 2 kół otrzymanych w kolejnym kroku jest równa

P2 = 3⋅ 1P1 = 1P1. 9 3

I tak dalej, w każdym kolejnym kroku suma pól będzie zmniejszać się o 3. W takim razie suma wszystkich pól jest równa

π- π- S = --P1--= --12--= 12-= π-. 1 − q 1 − 1 2 8 3 3

 
Odpowiedź: π- 8

Wersja PDF