Zadanie nr 2013255

Dane jest koło o promieniu . W tym kole narysowano koło styczne wewnętrznie, którego pole jest równe połowie pola koła . W kole narysowano koło styczne wewnętrznie, którego pole jest równe połowie pola koła k 2 . Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę obwodów wszystkich narysowanych kół.

Rozwiązanie

Wiemy, że każde kolejne koło ma pole dwa razy mniejsze od poprzedniego koła. To oznacza, że promień każdego koła stanowi √12 promienia poprzedniego koła (korzystamy tu ze wzoru na pole koła, lub z tego, że pole zmienia się jak kwadrat skali podobieństwa). Obwody kolejnych kół tworzą więc ciąg geometryczny (an) o pierwszym wyrazie a 1 = 2πr i ilorazie √ - q = √1-= -22 2 . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa