/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 2022442

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Liczby x1 i x2 są różnymi od zera rozwiązaniami równania 2 x − 12mx + n = 0 . Liczby m,x 1,x 2,n są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu geometrycznego. Wyznacz x1 i x2 .

Rozwiązanie

Sprawdźmy najpierw, kiedy dane równanie ma dwa różne rozwiązania. Tak będzie, gdy

0 < Δ = 144m 2 − 4n = 4 (36m 2 − n ) ⇐ ⇒ 36m 2 > n .

Przy tym założeniu pierwiastki danego równania spełniają wzory Viète’a

{ x1 + x2 = 12m x x = n. 1 2

To, że liczby (m ,x1,x2,n) tworzą ciąg geometryczny oznacza, że

{ 2 x1 = mx 2 x2 = x1n 2

Jeżeli pomnożymy te dwa równania stronami, to mamy

(x x )2 = x x mn 1 2 1 2 n2 = nmn .

Z założenia wiemy, że n ⁄= 0 , więc mamy stąd m = 1 i pierwsze równanie układu przyjmuje postać

2 x1 = mx 2 = x2 = (12m − x1) = 12 − x1 x21 + x1 − 12 = 0 Δ = 1 + 4 8 = 49 −-1-−-7 −-1-+-7 x1 = 2 = − 4 lub x1 = 2 = 3.

W pierwszym przypadku mamy x 2 = 12 − x1 = 16 , a w drugim x2 = 9 . MAmy wtedy odpowiednio n = − 64 i n = 27 . Łatwo sprawdzić, że w obu przypadkach 2 36m > n .  
Odpowiedź: (− 4,16 ) lub (3,9)

Wersja PDF