/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 2040921

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Trzy różne liczby całkowite tworzą ciąg geometryczny o ilorazie będącym ujemną liczbą całkowitą. Jeżeli najmniejszą z tych liczb zwiększymy o 16, to liczby te (w tej samej kolejności) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.

Rozwiązanie

Dane liczby możemy zapisać w postaci: 2 a1,a1q,a 1q . Jest jednak mały kłopot, bo nie wiemy, która z tych liczb jest najmniejsza. Na szczęście wiemy, że q < 0 , więc są dwie możliwości: jeżeli a1 > 0 , to najmniejsza jest druga liczba, a jeżeli a < 0 1 , to najmniejsza jest trzecia liczba (bo 2 q ≥ 1 ).

Zajmijmy się najpierw przypadkiem, gdy a1 > 0 . Wtedy wiemy, że ciąg (a1,a1q + 16,a 1q2) jest arytmetyczny, czyli

2 2(a1q+ 16) = a1 + a1q 32 = a (q2 − 2q + 1) = a (q − 1)2 1 1 a = ---32--- . 1 (q − 1)2

Z założenia a1 i q są liczbami całkowitymi, więc (q− 1)2 jest kwadratem liczby całkowitej dzielącym 32. Zatem (q − 1)2 = 1 , (q − 1)2 = 4 lub 2 (q − 1) = 1 6 , czyli

q ∈ {0,2,− 1,3,− 3,5} .

Interesują nas jednak tylko ujemne wartości q , więc q = − 1 lub q = − 3 . Wtedy

a = ---32--- = 8 i a = ---32--- = 2 1 (q− 1)2 1 (q − 1)2

odpowiednio. Otrzymuje więc dwa ciągi:

(8,− 8,8), (2,− 6,18).

Tylko drugi z tych ciągów spełnia założenia zadania (wyrazy mają być różne).

Zajmijmy się teraz drugim przypadkiem, gdy a < 0 1 . Wtedy arytmetyczny jest ciąg 2 (a1,a1q,a1q + 16) , więc

2a q = a + a q 2 + 16 1 1 1 − 16 = a1(q2 − 2q + 1) = a1(q− 1)2 − 16 a1 = --------. (q− 1)2

Tak jak poprzednio, wnioskujemy stąd, że (q− 1)2 = 1 , (q − 1 )2 = 4 lub (q − 1)2 = 1 6 , czyli

q ∈ {0,2,− 1,3,− 3,5} .

Tak jak poprzednio mamy stąd q = − 1 lub q = − 3 i

--−-16-- --−-16-- a 1 = (q− 1)2 = − 4 i a1 = (q − 1)2 = − 1

Otrzymujemy więc w tym przypadku ciągi

(− 4,4,− 4), (− 1,3 ,−9 ).

Tylko drugi z nich spełnia warunki zadania.  
Odpowiedź: (2,− 6,18 ) lub (− 1,3,− 9)

Wersja PDF