/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 2306341

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Liczby a i b są pierwiastkami równania 2 x + 8x + s = 0 , a liczby c i d są pierwiastkami równania x2 + 72x + t = 0 . Ciąg (a,b,c,d) jest malejącym ciągiem geometrycznym. Oblicz s i t .

Rozwiązanie

Skoro liczby (a,b,c,d) tworzą malejący ciąg geometryczny, to muszą być postaci b = aq ,c = aq2,d = aq3 , gdzie q > 0 (ciąg będzie malejący, gdy a > 0 i q ∈ (0,1) lub gdy a < 0 i q > 1 ). Zapiszmy teraz wzory Viète’a.

( | a + b = − 8 ||{ ab = s || c + d = − 72 |( cd = t (| a + aq = − 8 ||{ a(aq) = s || aq2 + aq3 = − 7 2 |( 2 3 aq ⋅aq = t ( ||| a(1 + q) = − 8 { a2q = s | aq2(1 + q) = −7 2 ||( a2q5 = t

Dzielimy teraz stronami trzecie równanie przez pierwsze i mamy

2 q = 9.

Jak zauważyliśmy, q > 0 , więc q = 3 . Wtedy z pierwszego równania

− 8 −8 a = ------= ---= − 2. 1+ q 4

Teraz z równań drugiego i czwartego mamy

{ s = 4 ⋅3 = 1 2 t = 4 ⋅243 = 972.

 
Odpowiedź: (s,t) = (12,972 )

Wersja PDF