Zadanie nr 3029556

Długości boków trapezu prostokątnego tworzą ciąg geometryczny. Ramię, które jest najkrótszym bokiem trapezu ma długość 1. Krótsza podstawa trapezu jest krótsza od drugiego z ramion. Oblicz długość dłuższej podstawy.

Rozwiązanie

Szkicujemy trapez.

Ponieważ długości boków trapezu tworzą ciąg geometryczny, to możemy je oznaczyć przez 1,q,q2,q3 dla pewnego q > 0 . Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym EBC .

12 + (q 3 − q)2 = (q2)2 3 2 4 (q − q ) = q − 1 q2(q2 − 1)2 = (q2 − 1)(q2 + 1).

Zauważmy teraz, że jeżeli q = 1 , to trapez jest kwadratem i nie spełnia opisu podanego w treści zadania. W takim razie q ⁄= 1 i możemy powyższe równanie podzielić przez q2 − 1 . Pozostanie równanie