/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 3132069

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (an) , określonego dla n ≥ 1 , są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek 24a1 − 10a2 + a3 = 0 . Oblicz iloraz q tego ciągu należący do przedziału ⟨ ⟩ 2√ 5,5√ 2- .

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy przez q iloraz ciągu, to a2 = a1q i 2 a3 = a 1q . Mamy zatem równanie

2 0 = 24a1 − 10a 2 + a3 = 24a1 − 10a1q + a1q / : a1 0 = 24 − 10q + q2 Δ = 100 − 96 = 4 10 − 2 1 0+ 2 q = -------= 4 lub q = -------= 6. 2 2

Zauważmy teraz, że

√ -- √ --- 2 5 = 20 ≈ 4,47 √ -- √ --- 5 2 = 50 ≈ 7,07.

W takim razie tylko √ --- q = 6 = 36 należy do przedziału ⟨ √ -- √ --⟩ 2 5,5 2 .  
Odpowiedź: q = 6

Wersja PDF