/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 3568390

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Jedenasty wyraz ciągu arytmetycznego (an ) , określonego dla n ≥ 1 , jest równy − 8 , a suma jego dziesięciu początkowych wyrazów jest równa − 3 . Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy ze wzorów na a n i S n .

{ −8 = a = a + 10r 11 21a +9r −3 = S10 = --12--⋅ 10 = 5(2a1 + 9r) { −8 = a1 + 10r −3 = 10a1 + 45r

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze pomnożone przez 10 (żeby skrócić a1 ) i mamy

7 − 3 + 80 = 45r− 100r ⇒ 77 = − 55r ⇒ r = − -- 5

Z drugiego równania mamy

a1 = − 8− 10r = − 8 + 14 = 6.

Sposób II

Na mocy wzoru a1+an- Sn = 2 ⋅n na sumę n początkowych wyrazów ciągu (an ) , mamy

a1 + a 11 − 11 = S10 + a11 = S11 = --------⋅11 ⇒ a1 + a11 = − 2. 2

Stąd a1 = − 2 − a11 = − 2 − (− 8) = 6 . Korzystamy teraz ze wzoru na n –ty wyraz ciągu arytmetycznego.

− 8 = a = a + 1 0r ⇒ 10r = − 8 − 6 = − 14 ⇒ r = − 14-= − 7. 11 1 10 5

 
Odpowiedź: 7 a1 = 6,r = − 5

Wersja PDF