/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 4121278

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest ciąg (an) , w którym suma n początkowych wyrazów wyraża się wzorem Sn = n2 , n ≥ 1 . Wyznacz wzór ogólny ciągu. Czy jest to ciąg arytmetyczny?

Rozwiązanie

Znając wzór sumę wyrazów, możemy wyznaczyć wzór ciągu an z równości

an = Sn − Sn− 1

(sumy z prawej strony różnią się dokładnie o an ). Wzór ten nie działa dla a1 , ale a1 = S1 .

Liczymy

a = S − S = n2 − (n− 1)2 = n2 − n2 + 2n − 1 = 2n − 1, n n n−1

o ile n ≥ 2 . Ponadto a1 = S1 = 1 . Sprawdźmy czy jest to ciąg arytmetyczny

an +1 − an = 2(n + 1) − 1 − 2n + 1 = 2.

Ciąg wygląda zatem na ciąg arytmetyczny o różnicy 2. Nie jesteśmy jednak tego jeszcze pewni, bo nie sprawdziliśmy a 1 . Ponieważ a = 4 − 1 = 3 = a + 2 2 1 , więc rzeczywiście jest to ciąg arytmetyczny.  
Odpowiedź: an = 2n − 1 , jest arytmetyczny.

Wersja PDF