/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 4263941

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W kąt o mierze x wpisano ciąg kół w taki sposób, że pierwsze koło ma promień r i jest styczne do ramion kąta a każde następne koło ma mniejszy promień i jest styczne do poprzedniego koła oraz do ramion kąta. Oblicz sumę pól kół tego ciągu.

Rozwiązanie

Ponieważ mamy obliczyć nieskończoną sumę i w szkole nie sumuje się innych szeregów niż geometryczne, to możemy siedomyślać, że promienie danych okręgów będą tworzyć malejący ciąg geometryczny. Pozostało znaleźć jego iloraz.

PIC

Na rysunku mamy narysowane dwa kolejne koła, musimy wyliczyć r q = r21 . Można to zrobić na różne sposoby, my obliczymy to z trójkąta prostokątnego O O D 2 1 (którego kąt ostry jest równy x 2 ). Mamy

DO--1- x- O O = sin 2 1 2 r1 −-r2-= sin x- r1 + r2 2 x- x- r1 − r2 = r1 sin 2 + r2 sin 2 x- x- r2(1 + sin 2) = r1(1 − sin 2) x q = r2 = 1−--sin-2. r1 1+ sin x2

Możemy więc obliczyć sumę S pól wszystkich okręgów

S = πr 2 + π (rq)2 + ⋅⋅⋅ = πr 2(1 + q 2 + q4 + ⋅⋅⋅) = 1 1 = πr 2----------x2-= πr2 ------x----2 x-------x---2 x-= 1− (1−sin-2x)2- 1+2sin2+sin-2−1+x-22sin-2−-sin-2- (1+sin 2) (1+ sin2) πr 2(1+ sin x2 )2 = ----------x-----. 4sin 2

 
Odpowiedź: πr2(1+sin-x2)2 4 sin x2

Wersja PDF