/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 4539055

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych
  • Wyznacz liczbę naturalną n ≥ 2 , dla której liczby (n1),(n2),(n+21) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego;
  • Dla wyznaczonej wartości n , wyznacz liczbę naturalną k tak, aby liczby n n n+1 (k),(k+1),(k+2) były kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Rozwiązanie

Korzystamy z faktu, że jeżeli trzy liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to 2b = a + c . Podobnie, jeżeli są one kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to b2 = ac .

  • Mamy równanie
    ( ) ( ) ( ) n n + 1 n 1 + 2 = 2 2 n + (n-+-1-)n = 2 ⋅ n-(n−-1) / ⋅ 2- 2 2 n 2 + n + 1 = 2n − 2 5 = n .

     
    Odpowiedź: n = 5

  • Skoro już wiemy, że n = 5 , to mamy równanie
    ( ) ( ) ( )2 5 ⋅ 6 = 5 k k+ 2 k+ 1

    Sposób I

    Ze definicji symbolu Newtona wiemy, że szukane k musi spełniać warunek 0 ≤ k ≤ 4 . W sumie to tylko 5 wartości, więc możemy je sprawdzić po kolei. Zanim to zrobimy, wyliczmy

    ( 5) ( 5) (5) ( 5) ( 5) (5 ) 5⋅4 = = 1, = = 5, = = ----= 10 ( 0) ( 5) (1) ( 4) ( 2) (3 ) 2 6 6 6 6 6 6 6⋅5 0 = 6 = 1, 1 = 5 = 6, 2 = 4 = -2--= 15, ( ) 6 6-⋅5-⋅4 3 = 6 = 2 0.

    Teraz wstawiamy w naszej równości po kolei k = 0 ,1,2,3,4 . Otrzymujemy równości

    1 ⋅15 = 5 2 2 5 ⋅20 = 1 0 10 ⋅15 = 102 10 ⋅6 = 5 2 2 5 ⋅1 = 1 .

    Tylko druga z tych równości jest prawdziwa, zatem k = 1 .

    Sposób II

    Powyższe rachunki są znacznie prostsze jeżeli wiemy co to jest trójkąt Pascala. Rysujemy go do 6 wiersza.

    PIC

    Teraz patrzymy kiedy dwie kolejne liczby w 5 wierszu i liczba po ich prawej stronie w 6 wierszu są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Gdy to prześledzimy to jedyny taki zestaw to 5,10 ,20 odpowiadający k = 1 .

    Sposób III

    Przekształcamy powyższe równanie

    ( ) 2 2 -----5!-----⋅-------6!------- = -------5!------- / ⋅ (k-!) k! ⋅(5− k)! (k + 2)!(4 − k)! (k + 1)!(4− k)! (5 !)2 ( ) 2 ----1--- ⋅----------6----------- = -------1------- / ⋅((4 − k)!)2 (5 − k)! (k + 1)(k + 2)(4 − k)! (k + 1)(4 − k)! 1 6 1 ------- ⋅-------------- = -------2 / ⋅ (k + 1 ) (5 − k) (k + 1)(k + 2) (k + 1) --1--- --6--- --1--- 5 − k ⋅k + 2 = k + 1 6(k + 1) = (5 − k)(k + 2) 6k + 6 = 5k + 1 0− k2 − 2k 2 k + 3k − 4 = 0 Δ = 9+ 16 = 25 k = −-3+-5-= 1. 2

     
    Odpowiedź: k = 1

Wersja PDF