/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 4756952

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Oblicz sumę 50 początkowych wyrazów ciągu (an) , który określony jest w następujący sposób

{ a1 = 5 an = 3 − a dla n ≥ 2. n− 1

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że

an+ 1 = 3− an = 3 − (3 − an− 1) = an−1.

To oznacza, że

a 49 = a 47 = ⋅⋅⋅ = a5 = a3 = a1 = 5

oraz

a50 = a48 = ⋅⋅ ⋅ = a 4 = a2 = 3 − a1 = − 2.

Stąd

a1 + a2 + a 3 + a4 + ⋅⋅⋅ + a49 + a50 = 25(a1 + a2) = 25 ⋅3 = 75 .

Sposób II

Zauważmy, że z podanej rekurencji mamy an− 1 + an = 3 , czyli

(a1 + a2)+ (a3 + a4)+ ⋅⋅ ⋅+ (a49 + a50) = 25 ⋅3 = 75.

 
Odpowiedź: 75

Wersja PDF