/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 5265232

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Ciąg (an) , gdzie n ∈ N + , jest nieskończonym ciągiem arytmetycznym o różnicy 2, w którym pierwszy wyraz jest równy − 8 . Wyznacz wszystkie wartości k , dla których trzywyrazowy ciąg (ak+1,ak+ 3,a2k+ 4) jest ciągiem geometrycznym.

Rozwiązanie

Ze wzoru na n –ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy

an = − 8+ (n− 1)⋅2 = − 10+ 2n = 2n − 10.

Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego jeżeli kwadrat środkowej jest iloczynem dwóch sąsiednich. Mamy więc równanie

2 ak+ 3 = ak+1a2k+4 2 (2 (k + 3 )− 10 ) = (2(k+ 1)− 10)(2(2k + 4 )− 10 ) (2k − 4 )2 = (2k− 8)(4k− 2) / : 4 2 (k− 2 ) = (k− 4)(2k− 1) 2 2 k − 4k + 4 = 2k − 9k+ 4 0 = k2 − 5k = k(k − 5) k = 0 lub k = 5.

 
Odpowiedź: k = 0 lub k = 5

Wersja PDF