/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 5318038

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W ciągu geometrycznym (an) dane są iloraz 1 q = − 2 oraz suma

11 a8 + a9 + ⋅ ⋅⋅+ a18 = 5-(2-+-1) . 3⋅217

Oblicz a7 .

Rozwiązanie

Podana suma jest równa

(a1 + a2 + ⋅ ⋅⋅+ a18)− (a1 + a2 + ⋅⋅⋅+ a7) = S 18 − S 7,

gdzie Sn oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu (an) . Ze wzoru na Sn mamy równanie

18 7 11 1−--q-- 1−--q-- 5(2---+-1) a1 ⋅ 1− q − a1 ⋅ 1 − q = 3 ⋅217 -1- 1- 1−--218- 1-+--27- 5(211-+-1) a1 ⋅ 3 − a1 ⋅ 3 = 3 ⋅217 ( 2 2 ) ( ) 2a1- -1- 1-- 5-(211 +-1) 3- 3 1− 218 − 1− 27 = 3⋅2 17 / ⋅ − 2 ( 11) 11 a -1- + 2-- = − 5(2--+--1) 1 218 218 218 ( 11 ) ( 11 ) ( 11 ) a1 2---+-1 = − 5 2--+--1 / : 2--+-1- 218 218 218 a = − 5. 1

Zatem

( )6 a7 = a 1q 6 = − 5⋅ − 1- = − 5-. 2 64

 
Odpowiedź: a7 = − 5- 64

Wersja PDF