Zadanie nr 6569995

Dany jest ciąg (an) o wyrazie ogólnym 2n2−-3n+-1 an = 2n− 1 .

Rozwiązanie

Sposób I

Rozłóżmy trójmian w liczniku ułamka deﬁniującego ciąg .

$0 = 2n 2 − 3n + 1 Δ = 9 − 8 = 1 n = 3-−-1-= 1- lub n = 3+--1-= 1. 4 2 4$

Stąd

$( 1) 2n 2 − 3n + 1 2 n − 2 (n− 1) (2n− 1)(n − 1) an = ------------- = ------------------= ----------------= n− 1. 2n − 1 2n − 1 2n − 1$

Widać teraz, że wszystkie wyrazy ciągu są faktycznie liczbami całkowitymi.

Sposób II

Aby wykazać, że każdy wyraz ciągu jest liczbą całkowitą, spróbujmy podzielić przez . My zrobimy to grupując wyrazy.

$2n2 − 3n + 1 = 2n 2 − n− 2n + 1 = (2n − 1)(n− 1).$

Mamy zatem

$an = n − 1 .$

Widać teraz, że wszystkie wyrazy ciągu są faktycznie liczbami całkowitymi.
Z poprzedniego punktu jest jasne, że .
Odpowiedź:
Musimy rozwiązać równanie (z niewiadomą )
$3 3 an − an+ 1 = − 1261 (n − 1 )3 − n 3 = − 1261 n 3 − 3n 2 + 3n − 1− n3 = − 126 1 2 0 = 3n − 3n − 126 0 0 = n2 − n − 420.$

Rozwiązujemy to równanie kwadratowe , lub . Ujemne rozwiązanie odrzucamy i zostaje . Zatem szukane wyrazy to i .
Odpowiedź: i