/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 7172985

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (an) wynosi 124, a suma wszystkich wyrazów tego ciągu równa się 125.

  • Oblicz pierwszy wyraz i iloraz ciągu geometrycznego (a ) n .
  • Sprawdź czy istnieje takie n , dla którego 2√2[(1+ √2)2−3] an = 5(√3+-1)(√-3−-1) .
  • Jakie dwie liczby x i y należy wstawić między pierwszy i trzeci wyraz ciągu (an) , aby ciąg (a1,x,y,a3) był ciągiem arytmetycznym?

Rozwiązanie

  • Ze wzorów na sumę początkowych oraz wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego otrzymujemy układ równań.
    { 1−q3 a1 ⋅1−q = 12 4 1a−1q-= 125.

    Podstawiając za a 1−1q- w pierwszym równaniu otrzymujemy

    12 5(1− q3) = 124 3 12 5− 125q = 12 4 3 1 12 5q = 1 ⇒ q = -. 5

    Zatem

    4- a1 = 1 25(1− q) = 125 ⋅5 = 100.

     
    Odpowiedź: 1 a1 = 100, q = 5

  • Przekształćmy najpierw podane wyrażenie (korzystając ze wzorów skróconego mnożenia).
    √ --[ √ -- ] √ -[ √ -- ] 2 2 (1+ 2)2 − 3 2 2 1+ 2 2+ 2− 3 ---√--------√-------- = ------------------------= -8- = 4-. 5( 3 + 1)( 3 − 1) 5(3 − 1) 1 0 5

    Musimy więc rozwiązać równanie

    an = a1qn−1 = 4- 5 -1--- 4- 1 00⋅ 5n−1 = 5 100 ⋅5 -------= 5n− 1 4 5 3 = 5n−1 ⇒ n = 4.

     
    Odpowiedź: Istnieje, n = 4

  • Pytanie brzmi dla jakich x i y ciąg
    ( ) 100 100,x,y ,---- = (10 0,x,y,4) 25

    jest arytmetyczny. Tak będzie, gdy

    { 2x = 100+ y 2y = x + 4

    (wyrazy x i y muszą być średnimi arytmetycznymi sąsiednich wyrazów). Dodajemy do pierwszego równania dwa razy drugie (żeby skrócić x ) i mamy

    2x + 4y = 100 + y + 2x + 8 3y = 1 08 ⇒ y = 3 6.

    Zatem x = 2y − 4 = 6 8 .  
    Odpowiedź: (x ,y) = (68,36)

Wersja PDF