/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 9134171

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest ciąg arytmetyczny (an ) dla n ≥ 1 , w którym a 7 = 1, a11 = 9 .

  • Oblicz pierwszy wyraz a1 i różnicę r ciągu (an ) .
  • Sprawdź, czy ciąg (a ,a ,a ) 7 8 11 jest geometryczny.
  • Wyznacz takie n , aby suma n początkowych wyrazów ciągu (an) miała wartość najmniejszą.

Rozwiązanie

  • Korzystając ze wzoru na n -ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy układ równań
    { 1 = a = a + 6r 7 1 9 = a11 = a1 + 10r.

    Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić a1 ) mamy

    8 = 4r ⇒ r = 2.

    Zatem a1 = 1− 6r = − 11 .  
    Odpowiedź: a1 = − 11. r = 2

  • Wyrazy a7 i a11 znamy, wyliczmy jeszcze a8
    a 8 = a7 + r = 1+ 2 = 3.

    Pytanie zatem brzmi, czy ciąg (1 ,3,9) jest geometryczny. Oczywiście jest, z ilorazem q = 3 .  
    Odpowiedź: Tak, jest.

  • Ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego mamy
    S = 2a1 +-(n−--1)r⋅ n = −-22-+-2(n-−--1)⋅n = n 2 2 = (− 11 + n − 1)n = (n− 12)n = n2 − 12n.

    Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę, więc wartość najmniejszą przyjmuje dokładnie w środku między pierwiastkami (w wierzchołku), czyli dla

    12- n = 2 = 6.

     
    Odpowiedź: n = 6

Wersja PDF