/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 9400363

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz wszystkie wartości x , dla których ciąg (|x − 1|,2,|x+ 3|) jest malejącym ciągiem arytmetycznym.

Rozwiązanie

Trzy liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego wtedy i tylko wtedy, gdy 2b = a + c . Musimy rozwiązać więc równanie

4 = |x− 1|+ |x + 3|.

Rozważamy przypadki.
Jeżeli x ≥ 1 to mamy równanie

4 = x− 1+ x+ 3 2 = 2x ⇒ x = 1.

Jeżeli x ∈ ⟨− 3,1) to mamy równanie

4 = −(x − 1)+ x + 3 4 = 4.

Rozwiązaniem w tym przypadku jest więc cały przedział ⟨− 3,1) .
Jeżeli wreszcie x < − 3 to mamy równanie

4 = − (x− 1)− (x+ 3) 2x = − 6 ⇒ x = − 3.

W tym przypadku równanie jest więc sprzeczne.

Ustaliliśmy zatem, że dla dowolnego x ∈ ⟨− 3,1⟩ dane trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. To jednak nie koniec, bo ciąg ten ma być malejący. Musi więc być spełniona nierówność.

|x+ 3| < 2 − 2 < x + 3 < 2 / − 3 − 5 < x < − 1.

W połączeniu z poprzednim warunkiem otrzymujemy więc x ∈ ⟨− 3,− 1) .

Drugiej nierówności (2 < |x− 1| ) nie musimy już sprawdzać, bo jeżeli ciąg jest arytmetyczny to będzie ona spełniona automatycznie.  
Odpowiedź: x ∈ ⟨− 3,− 1)

Wersja PDF