Zadanie nr 9567395

Suma dziewięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 18, a suma siedmiu początkowych wyrazów jest równa 0. Wyrazy: siódmy, ósmy i dziewiąty są długościami boków trójkąta. Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu na nim opisanego.

Rozwiązanie

Ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego mamy układ równań

{ 2a+ 8r --12---⋅9 = 18 2a1+-6r⋅7 = 0 { 2 a1 + 4r = 2 a1 + 3r = 0.

Odejmując od pierwszego równania drugie, mamy r = 2 , czyli a 1 = − 3r = − 6 . Możemy teraz obliczyć: a7, a8, a9 .

a7 = − 6+ 6⋅2 = − 6+ 12 = 6 a = a + 2 = 8 8 7 a9 = a8 + 2 = 10.

Mamy zatem trójkąt o bokach 6, 8, 10. Jest on dwa razy większy od trójkąta o bokach 3, 4, 5, więc łatwo zgadnąć (i sprawdzić z twierdzenia Pitagorasa), że mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym.

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym to dokładnie połowa przeciwprostokątnej, czyli R = 5 . Promień okręgu wpisanego obliczamy ze wzoru na pole P = pr , gdzie