/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 9570384

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Suma trzech początkowych wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego wynosi 6, a suma S wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 163 . Dla jakich naturalnych n spełniona jest nierówność |S − Sn| < -1 96 ?

Rozwiązanie

Z podanych informacji mamy układ równań

{ 2 2 6 = a1 + a1q+ a1q = a1(1 + q + q ) 136= 1a−1q- ⇒ a1 = 163 (1 − q).

Podstawiamy z pierwszego równania do drugiego i mamy

16- 2 6 = 3 (1 − q)(1 + q + q ) 3 18 = 1 6(1− q ) 9 = 8 − 8q 3 8q3 = − 1 ⇒ q = − 1. 2

Zatem a1 = 163 (1 − q) = 8 i

n 1 n 1 n 1−--q-- 1-−-(−-2)-- 16-−-16(−-2-)- Sn = a1 ⋅ 1 − q = 8 ⋅ 3 = 3 2

Przekształćmy teraz wyrażenie S − S n .

16 1 6− 1 6(− 1)n 16(− 1)n S − Sn = ---− -----------2-- = -----2--. 3 3 3

Pozostało rozwiązać nierówność

| | ||1 6(− 1)n|| 1 |------2--| < --- | 3 | 9 6 16 (1)n ----2-- < 1-- ( 3) 96 1- n --1---- 2 < 32 ⋅16 -1-< -1- 2n 29 29 < 2n ⇒ 9 < n.

 
Odpowiedź: Dla n > 9 .

Wersja PDF