/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 9613176

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 26, a ich iloczyn jest równy 216. Wyznacz ten ciąg.

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, to są one postaci a,aq,aq2 . Mamy zatem układ równań

{ 2 a + aq + aq = 26 a (aq)(aq2) = 216 { 2 a (1+ q + q ) = 26 a 3q 3 = 216 { a (1+ q + q2) = 26 3 3 {(aq ) = 6 2 a (1+ q + q ) = 26 aq = 6.

Prowadzi to do równania

6- 2 q (1+ q+ q ) = 26 2 3(1 + q + q ) = 1 3q 3q2 − 10q + 3 = 0.

Rozwiązujemy to równanie kwadratowe, 2 Δ = 100 − 36 = 64 = 8 ,

10 − 8 1 q 1 = -------= -- ⇒ a = 18 6 3 q = 10-+-8-= 3 ⇒ a = 2. 2 6

Mamy zatem dwa ciągi

(1 8,6,2) oraz (2,6,18)

Sposób II

Szukamy trzech liczb a,b,c spełniających warunki

(| { a+ b+ c = 26 abc = 216 |( b2 = ac.

Podstawiamy 2 ac = b z trzeciego równania do drugiego.

3 b = 216 ⇒ b = 6.

Mamy więc układ równań

{ a+ c = 20 ac = 36.

Podstawiamy a = 20− c z pierwszego równania do drugiego.

(20 − c)c = 3 6 2 0 = c − 20c + 3 6 Δ = 202 − 36 ⋅4 = 25 6 = 162 c = 20−--16-= 2 ∨ c = 20-+-16-= 18. 2 2

Mamy wtedy a = 20 − c = 18 i a = 20 − c = 2 odpowiednio.  
Odpowiedź: (18,6 ,2) oraz (2 ,6,18)

Wersja PDF