/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 9717786

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Liczby x1 i x2 są pierwiastkami równania 2 x + x+ A = 0 , a liczby x 3 i x 4 są pierwiastkami równania x2 + 4x + B = 0 . Wiadomo, że ciąg (x1,x2,x3,x 4) jest ciągiem geometrycznym o wyrazach całkowitych. Wyznacz A i B .

Rozwiązanie

Ponieważ liczby (x 1,x2,x3,x4) tworzą ciąg geometryczny to są one postaci

x1 = a,x2 = aq ,x3 = aq2,x4 = aq3.

dla pewnych a i q . Wzory Viète’a dają nam równania

( || x1x 2 = A |{ x + x = − 1 1 2 ||| x3x 4 = B ( x + x = − 4 ( 3 4 | a2q = A ||{ a(1 + q) = −1 || a2q5 = B |( aq2(1 + q) = − 4.

Podstawiając w ostatnim równaniu za a(1 + q) z drugiego równania, otrzymujemy

q2 = 4

Zatem q = − 2 lub q = 2 . Z drugiego równania mamy wtedy a = 1 lub a = − 1 3 . Ponieważ ciąg ma mieć wyrazy całkowite, to drugie rozwiązanie odrzucamy. Z pierwszego i trzeciego równania otrzymujemy wtedy A = − 2 i B = − 32 .

Na koniec wypada sprawdzić, że otrzymane równania

x2 + x− 2 = 0 2 x + 4x− 32 = 0

mają rzeczywiście pierwiastki, ale to jest łatwe (liczmy Δ -ę).  
Odpowiedź: A = − 2,B = − 32

Wersja PDF