Zadanie nr 9740679

Długości boków trójkąta tworzą ciąg geometryczny. Jaki warunek spełniać musi iloraz tego ciągu?

Rozwiązanie

Niech 2 a,b = aq,c = aq będą długościami boków trójkąta, które tworzą ciąg geometryczny o ilorazie . Jeżeli założymy, że q ≥ 1 , to a ≤ b ≤ c i na mocy nierówności trójkąta, taki trójkąt istnieje wtedy i tylko wtedy gdy

a + b > c / : a 1 + b-> c- a a 1 + q > q2 2 0 > q − q − 1.

Dalej, Δ = 1 + 4 = 5 , √ - q1 = 1−2-5 , √ - q2 = 1+2-5 . Zatem ⟨ √ -) q ∈ 1, 1+2-5 .

Jeżeli natomiast q < 1 , to możemy zastosować powyższe rozumowanie do boków c ≤ b ≤ a , które tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 1 q > 1 . Mamy wtedy