/Szkoła średnia/Ciągi

Zadanie nr 9831363

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że dla każdego m ciąg (m-+1 m+3- m+9-) 4 , 6 , 12 jest arytmetyczny.

Rozwiązanie

Sposób I

Trzy liczby (a,b,c) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego wtedy i tylko wtedy, gdy 2b = a + c . Sprawdźmy czy tak jest w naszej sytuacji.

m + 1 m + 9 3(m + 1) + m + 9 a + c = ------+ ------= ------------------ = 4 12 12 = 4m-+--12-= m-+-3-= 2⋅ m-+-3-. 12 3 6

Zatem istotnie podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny.

Sposób II

Wystarczy sprawdzić, że różnice między kolejnymi wyrazami są równe. Liczymy

m-+--3 − m-+--1 = m-+-9-− m-+-3- 6 4 12 6 2(m--+-3)−--3(m-+--1) m--+-9-−-2(m-+--3) 12 = 12 −m + 3 −m + 3 -------- = --------. 12 12

Otrzymana równość jest oczywiście prawdziwa, co dowodzi, że dane liczby tworzą ciąg arytmetyczny.

Wersja PDF