/Szkoła średnia/Zadania testowe/Ciągi/Granice

Zadanie nr 3386937

Granice (an4+bn2−1)2 nl→im+∞ (2n+ 1)4 i --(2n+-1)4--- nl→im+∞ (an4+bn2−1)2 są równe. Stąd wynika, że
A) a = 0 i |b| = 2 B) |a| = 1 i b = 2 C) |a| = 1 i |b| = 2 D) a = 0 i |b| = 4

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy

4 2 2 g = lim (an--+-bn--−-1)-, n→ + ∞ (2n + 1)4

to

4 lim ---(2n-+--1)-----= lim -----1------= --------1--------- = 1. n→ + ∞ (an4 + bn2 − 1)2 n→+ ∞ (an4+bn-2−1)2 lim (an4+bn2−1)2- g (2n+ 1)4 n→ +∞ (2n+ 1)4

Mamy zatem

1 2 g = -- ⇐ ⇒ g = 1 ⇐ ⇒ g = ± 1. g

Tak będzie, tylko wtedy gdy a = 0 (bo w przeciwnym przypadku g = + ∞ ) i

(bn2−1)2 (an4-+-bn-2 −-1)2 (bn-2 −-1-)2 ---n4--- ± 1 = nli→m+ ∞ (2n+ 1)4 = nl→im+∞ (2n + 1)4 = nl→im+∞ (2n+-1)4- = n4 ( 1-)2 b − n2 b2 = nli→m+ ∞ (------)-4 = 16. 2+ 1n

Stąd b2 = 16 , czyli b = ± 4 .  
Odpowiedź: D

Wersja PDF