Zadanie nr 6762050
Suma cyfr liczby trzycyfrowej wynosi 8, zaś suma kwadratów jej cyfr jest równa 30. Jeśli w liczbie zamienimy cyfry skrajne to otrzymana liczba będzie o 396 większa od początkowej. Znajdź tę liczbę.
Rozwiązanie
Jeżeli szukana liczba to (
to odpowiednio cyfry setek, dziesiątek i jedności) to mamy warunki
![( |{ a+ b+ c = 8 a2 + b2 + c2 = 30 |( 100c + 10b + a = 1 00a+ 10b + c+ 396](https://img.zadania.info/zad/6762050/HzadR2x.gif)
Z ostatniego równania mamy
![99c = 9 9a+ 396 ⇒ c = a + 4.](https://img.zadania.info/zad/6762050/HzadR3x.gif)
Wstawiamy to do dwóch pierwszych równań.
![{ a + b + a + 4 = 8 a2 + b2 + (a + 4)2 = 30 { b = 4− 2a 2 2 2a + 8a + b = 14.](https://img.zadania.info/zad/6762050/HzadR4x.gif)
Podstawiamy z pierwszego równania do drugiego.
![2 2 2a + 8a+ (4− 2a) − 14 = 0 6a2 − 8a+ 2 = 0 2 3a − 4a+ 1 = 0 Δ = 16− 12 = 4 a = 4-−-2-= 1- ∨ a = 4-+-2-= 1 . 6 3 6](https://img.zadania.info/zad/6762050/HzadR6x.gif)
Zatem . Stąd
i
.
Odpowiedź: 125