Zadanie nr 2380800
Długości wszystkich krawędzi ostrosłupa czworokątnego prawidłowego są równe . Przez wierzchołek ostrosłupa i środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy poprowadzono płaszczyznę . Wyznacz sinus kąta nachylenia wyznaczonego przekroju do podstawy ostrosłupa.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Z trójkąta prostokątnego obliczamy długość wysokości ostrosłupa.
![┌│ -----(------)-- ∘ ---- ∘ ------------ │ a √ 2- 2 2a2 a√ 2- SF = SA 2 − AF 2 = ∘ a 2 − ----- = ----= -----. 2 4 2](https://img.zadania.info/zad/2380800/HzadR2x.gif)
Długość odcinka obliczymy na dwa sposoby.
Sposób I
Ponieważ , długość odcinka
możemy obliczyć z trójkąta prostokątnego
.
![┌ ---------------------- ∘ ----------- ││ ( √ --) 2 ( √ --) 2 SE = SF 2 + EF2 = ∘ a--2- + a--2- = 2 4 ∘ ---------- √ --- 8a-2 +-2a-2 a--10- = 16 = 4 .](https://img.zadania.info/zad/2380800/HzadR7x.gif)
Interesujący nas sinus jest więc równy
![√- √ -- √ --- √ -- SF a-2- 4 2 2 20 2 5 sinα = --- = --2√-- = -√----= ------= ----. SE a410- 2 10 10 5](https://img.zadania.info/zad/2380800/HzadR8x.gif)
Sposób II
Ponieważ , długość odcinka
możemy obliczyć z trójkąta prostokątnego
.
![┌ -------------------- │ ( √ -) 2 ∘ ---2------2- ∘ ---2-------2------2 │∘ 2 a-2 a--2- SE = SG − EG = SA − AG − EG = a − 4 − 4 = ∘ ----------------- √ --- 16a2 − 4a2 − 2a2 a 10 = -----------------= ------. 16 4](https://img.zadania.info/zad/2380800/HzadR12x.gif)
Sinus kąta nachylenia obliczamy tak samo jak w pierwszym sposobie.
Odpowiedź: