/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Przekroje

Zadanie nr 2997279

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD . Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość a . Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze α takim, że √10- cosα = 10 . Przez krawędź BC podstawy ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę π prostopadłą do ściany bocznej SAD . Sporządź rysunek tego ostrosłupa, zaznacz na rysunku przekrój wyznaczony przez płaszczyznę π i nazwij figurę, która jest tym przekrojem. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Otrzymany przekrój to oczywiście trapez o dłuższej podstawie BC = a . Łatwo też obliczyć jego wysokość – patrzymy na trójkąt prostokątny KLN .

√ --- KN 10 cosα = ---- ⇒ KN = KL co sα = a ⋅----- KL ∘ ----------- ∘10----- √ --- ∘ ---2-------2 2 -10- 2 90--2 3--10- LN = KL − KN = a − 100 a = 100a = 10 a .

Pozostało więc obliczyć długość krótszej podstawy EF trapezu BCF E . Zrobimy to korzystając z podobieństwa trójkątów SEF i SAD , ale zanim będziemy mogli to zrobić, obliczmy długość odcinka SK . Patrzymy na trójkąt prostokątny SKM .

√ --- KM KM a2 a 1 0 co sα = ---- ⇒ SK = ----- = √1--= ------. SK co sα 10 2

Patrzymy teraz na trójkąty podobne SEF i SAD .

-EF- = SN--= SK--−-KN-- = 1 − KN-- AD SK √SK- SK ( a--10-) ( ) EF = a ⋅ 1− -1√0-- = a⋅ 1 − 1- = 4a. a--10- 5 5 2

Obliczamy pole trapezu BCF E .

√ --- BC + EF a + 45a 3 10 PBCFE = ---------⋅ LN = -------⋅ ------a = 2 √ --- √ 2-- 1 0 -9- 3---10 2 27--10-2 = 10 ⋅ 10 a = 100 a .

 
Odpowiedź: Trapez równoramienny o polu: 27√-10 2 100 a .

Wersja PDF