/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Przekroje

Zadanie nr 3145173

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ( ) α ∈ 0, π2 , a krawędź podstawy ma długość a . Przez krawędź podstawy poprowadzono płaszczyznę tworzącą z płaszczyzna podstawy kąt β ∈ (0,α) . Wykaż, że pole otrzymanego przekroju jest równe

a2sin2 αco sβ ----2---------. sin (α + β)
Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Przekrój BCF E , o którym mowa w treści zadania to trapez równoramienny o jednej podstawie BC = a . Łatwo też obliczyć wysokość NL tego trapezu – stosujemy twierdzenie sinusów w trójkącie KLN .

-NL-- ---------KL--------- ---KL------ sinα = sin(18 0∘ − (α+ β)) = sin(α + β) NL = --a-sinα---. sin(α + β )

Ostatni element jaki jest nam potrzebny do obliczenia pola trapezu BCF E to długość podstawy EF . Obliczymy ją oczywiście w trójkącie ADS , ale zanim to zrobimy, spróbujemy obliczyć skalę k podobieństwa trójkątów SEF i SAD . Zauważmy, że

KM KM a ---- = cos α ⇒ SK = ----- = ------- SK co sα 2c osα -NK-- = -NL-- ⇒ NK = --a-sinα---⋅ sin-β-= --a-sin-β---. sinβ sin α sin(α + β ) sin α sin(α + β)

W takim razie interesująca nas skala podobieństwa k jest równa

--asinβ-- SN-- SK-−--NK-- NK-- sin(α+-β) 2-sin-β-cosα- k = SK = SK = 1− SK = 1− --a-- = 1 − sin (α+ β) = 2 cosα = sinα-cos-β+--sin-β-cosα-−--2sinβ-cos-α = sin-(α−--β). sin(α + β ) sin (α+ β)

Ten sam wynik mogliśmy otrzymać odrobinę szybciej pisząc twierdzenie sinusów w trójkącie SNL , w którym ∡SLN = α − β , ∡SNL = α + β i SL = SK .

Teraz łatwo już obliczyć długość odcinka EF .

EF-- asin(α-−-β-) AD = k ⇒ EF = k ⋅AD = sin (α+ β) .

Pole trapezu BCF E jest równe

asin(α−-β) BC-+-EF-- a+---sin(α+β)- --asin-α--- 2 ⋅NL = 2 ⋅ sin (α+ β) = 2 = ---a-sin-α---(sin(α + β) + sin(α − β)) = 2sin2(α + β ) 2 2 2 = ---a-sin-α---⋅ 2sinα cos β = a--sin-α-cosβ-. 2sin2(α + β ) sin2(α + β )
Wersja PDF