W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna jest nachylona... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Przekroje, 3145173

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Przekroje

Zadanie nr 3145173

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $( ) α ∈ 0, π2$ , a krawędź podstawy ma długość $a$ . Przez krawędź podstawy poprowadzono płaszczyznę tworzącą z płaszczyzna podstawy kąt $β ∈ (0,α)$ . Wykaż, że pole otrzymanego przekroju jest równe

a2sin2 αco sβ ----2---------. sin (α + β)

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Przekrój $BCF E$ , o którym mowa w treści zadania to trapez równoramienny o jednej podstawie $BC = a$ . Łatwo też obliczyć wysokość $NL$ tego trapezu – stosujemy twierdzenie sinusów w trójkącie $KLN$ .

-NL-- ---------KL--------- ---KL------ sinα = sin(18 0∘ − (α+ β)) = sin(α + β) NL = --a-sinα---. sin(α + β )

Ostatni element jaki jest nam potrzebny do obliczenia pola trapezu $BCF E$ to długość podstawy $EF$ . Obliczymy ją oczywiście w trójkącie $ADS$ , ale zanim to zrobimy, spróbujemy obliczyć skalę $k$ podobieństwa trójkątów $SEF$ i $SAD$ . Zauważmy, że

KM KM a ---- = cos α ⇒ SK = ----- = ------- SK co sα 2c osα -NK-- = -NL-- ⇒ NK = --a-sinα---⋅ sin-β-= --a-sin-β---. sinβ sin α sin(α + β ) sin α sin(α + β)

W takim razie interesująca nas skala podobieństwa $k$ jest równa

--asinβ-- SN-- SK-−--NK-- NK-- sin(α+-β) 2-sin-β-cosα- k = SK = SK = 1− SK = 1− --a-- = 1 − sin (α+ β) = 2 cosα = sinα-cos-β+--sin-β-cosα-−--2sinβ-cos-α = sin-(α−--β). sin(α + β ) sin (α+ β)

Ten sam wynik mogliśmy otrzymać odrobinę szybciej pisząc twierdzenie sinusów w trójkącie $SNL$ , w którym $∡SLN = α − β$ , $∡SNL = α + β$ i $SL = SK$ .