Zadanie nr 3495910
Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa
, a wysokość tego ostrosłupa ma długość
. Punkty
i
są środkami krawędzi bocznych odpowiednio
i
. Oblicz obwód trójkąta
.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Odcinek jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie
, więc
![√ -- 1- 1- √ -- a--2- EF = 2 AC = 2 ⋅a 2 = 2 .](https://img.zadania.info/zad/3495910/HzadR3x.gif)
Sposób I
Dorysujmy wysokość trójkąta równoramiennego
. W trójkącie prostokątnym
mamy
![┌│ (--√---)----(---√--)-- ∘ ----------- │ a 2 2 a 2 2 BK = BL 2 + LK 2 = ∘ ----- + ----- = a. 2 2](https://img.zadania.info/zad/3495910/HzadR7x.gif)
Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny .
![┌ --------------- ∘ ----------- ││ ( √ --) 2 ∘ ----2 √ -- BE = BK 2 + KE 2 = ∘ a2 + a--2- = 1-8a- = 3---2a. 4 1 6 4](https://img.zadania.info/zad/3495910/HzadR9x.gif)
Interesujący nas obwód trójkąta jest więc równy
![√ -- √ -- a---2 3--2a- √ -- EF + 2BE = 2 + 2 = 2 2a.](https://img.zadania.info/zad/3495910/HzadR11x.gif)
Sposób II
Tym razem skorzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie . Zauważmy najpierw, że
![┌ -------------------- ∘ ----------- ││ √ -- ( √ -) 2 ∘ ---------2 ∘ ----2 √ --- SC = SL 2 + LC 2 = ∘ (a 2 )2 + a---2 = 2a 2 + 2a--= 10a--= --10a. 2 4 4 2](https://img.zadania.info/zad/3495910/HzadR13x.gif)
Jeżeli oznaczymy , to
![a co sα = MC--= √-2-- = √-1--. SC --10a 1 0 2](https://img.zadania.info/zad/3495910/HzadR15x.gif)
Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie .
![( √ ---) 2 √ --- 2 2 2 2 --10a- --10a- --1-- BF = BC + CF − 2BC ⋅CF cosα = a + 4 − 2 ⋅a⋅ 4 ⋅√ 10 = 2 5a2- a-2 8-+-5-−-4- 2 9- 2 = a + 8 − 2 = 8 ⋅a = 8 a √ -- BF = -3√a--= 3--2-a. 2 2 4](https://img.zadania.info/zad/3495910/HzadR17x.gif)
Interesujący nas obwód trójkąta jest więc równy
![a√ 2- 3√ 2a √ -- EF + 2BF = -----+ ------= 2 2a. 2 2](https://img.zadania.info/zad/3495910/HzadR19x.gif)
Odpowiedź: