/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Przekroje

Zadanie nr 3495910

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest równa a , a wysokość tego ostrosłupa ma długość √ -- a 2 . Punkty E i F są środkami krawędzi bocznych odpowiednio AS i CS . Oblicz obwód trójkąta BEF .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Odcinek EF jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie SAC , więc

√ -- 1- 1- √ -- a--2- EF = 2 AC = 2 ⋅a 2 = 2 .

Sposób I

Dorysujmy wysokość BK trójkąta równoramiennego BEF . W trójkącie prostokątnym BLK mamy

┌│ (--√---)----(---√--)-- ∘ ----------- │ a 2 2 a 2 2 BK = BL 2 + LK 2 = ∘ ----- + ----- = a. 2 2

Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny BEK .

┌ --------------- ∘ ----------- ││ ( √ --) 2 ∘ ----2 √ -- BE = BK 2 + KE 2 = ∘ a2 + a--2- = 1-8a- = 3---2a. 4 1 6 4

Interesujący nas obwód trójkąta BEF jest więc równy

√ -- √ -- a---2 3--2a- √ -- EF + 2BE = 2 + 2 = 2 2a.

Sposób II

Tym razem skorzystamy z twierdzenia cosinusów w trójkącie BF C . Zauważmy najpierw, że

┌ -------------------- ∘ ----------- ││ √ -- ( √ -) 2 ∘ ---------2 ∘ ----2 √ --- SC = SL 2 + LC 2 = ∘ (a 2 )2 + a---2 = 2a 2 + 2a--= 10a--= --10a. 2 4 4 2

Jeżeli oznaczymy α = ∡SCM , to

a co sα = MC--= √-2-- = √-1--. SC --10a 1 0 2

Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie BF C .

( √ ---) 2 √ --- 2 2 2 2 --10a- --10a- --1-- BF = BC + CF − 2BC ⋅CF cosα = a + 4 − 2 ⋅a⋅ 4 ⋅√ 10 = 2 5a2- a-2 8-+-5-−-4- 2 9- 2 = a + 8 − 2 = 8 ⋅a = 8 a √ -- BF = -3√a--= 3--2-a. 2 2 4

Interesujący nas obwód trójkąta BEF jest więc równy

a√ 2- 3√ 2a √ -- EF + 2BF = -----+ ------= 2 2a. 2 2

 
Odpowiedź: √ -- 2 2a

Wersja PDF