/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Przekroje

Zadanie nr 4377912

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest 2,5 razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Przez przekątną podstawy i środek rozłącznej z nią krawędzi bocznej poprowadzono płaszczyznę. Oblicz pole otrzymanego przekroju, wiedząc, że krawędź podstawy ostrosłupa ma długość a .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

PIC

Po pierwsze znamy podstawę trójkąta będącego opisanym przekrojem.

√ -- AC = a 2.

Pozostało wyliczyć jego wysokość EF .

Sposób I

Wyliczymy ją z trójkąta prostokątnego F BS . W tym trójkącie mamy

∘ ----------- ∘ ------------ ∘ --- √ -- BS = FS 2 + FB2 = 25-a2 + 1a2 = 27a = 3--3-a. 4 2 4 2

Ponadto

√2a √ -- FB- --2-- ---2-- co s∡F BE = BS = 3√-3a = 3√ 3. 2

Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów do trójkąta FBE .

2 2 2 F E = F B + BE − 2FB ⋅BE cos∡F BE 2 2 1- 2 F E = F B + 4BS − FB ⋅BS cos∡F BE √ -- √ -- √ -- F E2 = 1-a2 + 27a2 − --2a-⋅ 3--3a-⋅-√-2- 2 16 2 2 3 3 2 1 2 27 2 1 2 F E = --a + --a − --a 2 16 2 F E2 = 2-7a2 1 6√ -- 3 3 FE = -----a. 4

Pozostało obliczyć pole

√ -- √ -- 1 1 √ -- 3 3 3 6 P = --AC ⋅FE = --⋅a 2 ⋅-----a = -----a2. 2 2 4 8

Sposób II

Tak naprawdę, odcinek FE mogliśmy wyliczyć znacznie prościej zauważając, że jest to środkowa w trójkącie prostokątnym FBS , a długość środkowej opuszczonej na przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym jest równa połowie przeciwprostokątnej (bo obie te długości to promień okręgu opisanego na trójkącie). Zatem FE = EB = 12BS . Długość odcinka BS i pole liczymy jak poprzednio.  
Odpowiedź: 3√ 6 2 --8-a

Wersja PDF