Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4377912

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest 2,5 razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Przez przekątną podstawy i środek rozłącznej z nią krawędzi bocznej poprowadzono płaszczyznę. Oblicz pole otrzymanego przekroju, wiedząc, że krawędź podstawy ostrosłupa ma długość a .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.


PIC


Po pierwsze znamy podstawę trójkąta będącego opisanym przekrojem.

 √ -- AC = a 2.

Pozostało wyliczyć jego wysokość EF .

Sposób I

Wyliczymy ją z trójkąta prostokątnego F BS . W tym trójkącie mamy

 ∘ ----------- ∘ ------------ ∘ --- √ -- BS = FS 2 + FB2 = 25-a2 + 1a2 = 27a = 3--3-a. 4 2 4 2

Ponadto

 √2a √ -- FB- --2-- ---2-- co s∡F BE = BS = 3√-3a = 3√ 3. 2

Stosujemy teraz twierdzenie cosinusów do trójkąta FBE .

 2 2 2 F E = F B + BE − 2FB ⋅BE cos∡F BE 2 2 1- 2 F E = F B + 4BS − FB ⋅BS cos∡F BE √ -- √ -- √ -- F E2 = 1-a2 + 27a2 − --2a-⋅ 3--3a-⋅-√-2- 2 16 2 2 3 3 2 1 2 27 2 1 2 F E = --a + --a − --a 2 16 2 F E2 = 2-7a2 1 6√ -- 3 3 FE = -----a. 4

Pozostało obliczyć pole

 √ -- √ -- 1 1 √ -- 3 3 3 6 P = --AC ⋅FE = --⋅a 2 ⋅-----a = -----a2. 2 2 4 8

Sposób II

Tak naprawdę, odcinek FE mogliśmy wyliczyć znacznie prościej zauważając, że jest to środkowa w trójkącie prostokątnym FBS , a długość środkowej opuszczonej na przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym jest równa połowie przeciwprostokątnej (bo obie te długości to promień okręgu opisanego na trójkącie). Zatem FE = EB = 12BS . Długość odcinka BS i pole liczymy jak poprzednio.  
Odpowiedź: 3√ 6 2 --8-a

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!