/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Przekroje

Zadanie nr 4763804

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole podstawy jest równe S , a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę α . Ostrosłup przecięto płaszczyzną zawierającą krawędź boczną tego ostrosłupa i przechodzącą przez środek rozłącznej z nią krawędzi podstawy. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zcznijmy od rysunku i chwilę się zastanówmy.

PIC

Podane pole podstawy S daje nam krawędź a podstawy

√ -- a = S .

Z podanego kąta α łatwo wyliczymy wysokość i krawędź ściany bocznej. Innymi słowy widać, że jesteśmy w stanie wyliczyć wszystkie boki trójkąta EDF . To powinno (przynajmniej teoretycznie – wzór Herona, brrr) pozwolić nam wyliczyć pole tego trójkąta.

Liczymy

∘ ------------ ∘ ------2- √ -- DF = DC 2 + CF 2 = a2 + a--= --5a. 4 2

Dalej,

GS--= cos α EG -GS-- ---a--- EF = EG = cosα = 2 cosα ∘ ------------ ∘ ----2-------2- ∘ ---------- ED = EG 2 + GD 2 = ---a----+ a--= --a---- 1+ cos2α. 4 cos2α 4 2cos α

W tym miejscu prawdziwi twardziele podstawiają do wzoru Herona i liczą. Nam jednak do takiej drogi brakuje odwagi, więc spróbujmy to zrobić inaczej. Z twierdzenia cosinusów policzymy cosinus jednego z kątów trójkąta EDF , potem z cosinusa sinus i będziemy mieli pole. Liczymy

2 2 2 ED = DF + FE − 2DF ⋅F E cosβ √ -- a2(1 + co s2α) 5a2 a2 5a a 4 --------2----- = ----+ -----2--− 2⋅ -----⋅-------cos β / ⋅ -2- 4cos α 4 4 cos√ α- 2 2c osα a ---1-- --1--- 2--5- co s2α + 1 = 5+ cos2α − cosα co sβ √ -- -2--5 cosβ = 4 co sα 2co-sα- cosβ = √ 5- ∘ ---------- ∘ ------------ ------------ 2 4- 2 -1--∘ 2 sin β = 1− cos β = 1 − 5 cos α = √ 5 5 − 4c os α.

No i możemy policzyć szukane pole

√ -- ∘ ------------ P = 1-DF ⋅F E ⋅sinβ = 1-⋅--5a-⋅ --a----⋅√1-- 5− 4co s2α = 2 2 2 2cos α 5 S ∘ ------------ = ------- 5 − 4 cos2α. 8 cosα

 
Odpowiedź: √ ------------ -S--- 5− 4cos2 α 8cosα

Wersja PDF